Bạn đang tìm kiếm các công thức Toán 11 để ôn thi học kỳ hiệu quả? Bài viết này tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức quan trọng, khái niệm và định nghĩa từ ba bộ sách giáo khoa phổ biến: Kết nối tri thức với cuộc sống, Cánh Diều, và Chân trời sáng tạo. Từ hàm số lượng giác, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, đến đạo hàm, xác suất và hình học không gian, mọi kiến thức đều được trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, kèm mẹo ôn tập. Hãy khám phá ngay để nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục kỳ thi Toán 11!
1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
Góc lượng giác: Đo bằng độ hoặc radian. Một vòng tròn là \(360^\circ\) hoặc \(2\pi\) radian.
Giá trị lượng giác (\(\sin, \cos, \tan, \cot\)):
- \(\sin \theta = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}\), \(\cos \theta = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}}\)
- \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
- Cần nhớ giá trị tại các góc đặc biệt (\(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)).
Hàm số lượng giác:
- \(\sin x\): Chu kỳ \(2\pi\), tập giá trị \([-1, 1]\).
- \(\cos x\): Chu kỳ \(2\pi\), tập giá trị \([-1, 1]\).
- \(\tan x\): Chu kỳ \(\pi\), không xác định tại \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
- \(\cot x\): Chu kỳ \(\pi\), không xác định tại \(x = k\pi\).
Phương trình lượng giác cơ bản:
- \(\sin x = a\): Có nghiệm khi \(|a| \leq 1\).
- \(\cos x = a\): Có nghiệm khi \(|a| \leq 1\).
- \(\tan x = a\), \(\cot x = a\): Luôn có nghiệm.
Công thức quan trọng
Công thức lượng giác:
Cộng và trừ:
- \(\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\)
- \(\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\)
- \(\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}\)
Nhân đôi:
- \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\)
- \(\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\)
- \(\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}\)
Biến đổi tổng thành tích:
- \(\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\)
- \(\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)\)
Hằng đẳng thức cơ bản:
- \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
- \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)
- \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\)
Phương trình lượng giác cơ bản:
- \(\sin x = a\): \(x = \arcsin a + k2\pi\) hoặc \(x = \pi – \arcsin a + k2\pi\)
- \(\cos x = a\): \(x = \pm \arccos a + k2\pi\)
- \(\tan x = a\): \(x = \arctan a + k\pi\)
- \(\cot x = a\): $x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi $
2. Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
Dãy số: Là tập hợp các số được sắp xếp theo quy luật.
- Hữu hạn (số lượng hữu hạn) hoặc vô hạn.
- Đơn điệu (tăng/giảm) hoặc bị chặn.
Cấp số cộng: Dãy số mà mỗi số hạng hơn kém số hạng trước một hằng số \(d\) (công sai).
- Công thức số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + (n-1)d\)
- Tổng \(n\) số hạng: \(S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]\)
Cấp số nhân: Dãy số mà mỗi số hạng được nhân với một hằng số \(q\) (công bội).
- Công thức số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)
- Tổng \(n\) số hạng: \(S_n = u_1 \frac{1 – q^n}{1 – q}\) (nếu \(q \neq 1\)).
Công thức quan trọng
Cấp số cộng:
- \(u_n = u_1 + (n-1)d\)
- \(S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)\)
Cấp số nhân:
- \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)
- \(S_n = u_1 \frac{1 – q^n}{1 – q}\)
- Tổng vô hạn (\(|q| < 1\)): \(S_\infty = \frac{u_1}{1 – q}\)
3. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
- Mẫu số liệu ghép nhóm: Dữ liệu được chia thành các khoảng với tần số tương ứng.
- Số trung bình (mean): Trung bình cộng có trọng số của các điểm giữa khoảng.
- Mốt (mode): Giá trị hoặc khoảng có tần số cao nhất.
- Trung vị (median): Giá trị ở giữa khi dữ liệu được sắp xếp.
- Tứ phân vị: Chia dữ liệu thành bốn phần bằng nhau (\(Q_1, Q_2, Q_3\)).
Công thức quan trọng
- Số trung bình: \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\), với \(x_i\) là điểm giữa của khoảng thứ \(i\), \(f_i\) là tần số.
- Trung vị: Nằm trong khoảng mà tần số tích lũy đạt hoặc vượt \(\frac{n}{2}\).
- Mốt: Khoảng có tần số cao nhất.
4. Quan hệ song song trong không gian
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
- Đường thẳng và mặt phẳng: Được xác định bởi các điểm và vector trong không gian.
- Hai đường thẳng song song: Có vector chỉ phương song song.
- Đường thẳng và mặt phẳng song song: Vector chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng.
- Hai mặt phẳng song song: Có vector pháp tuyến song song.
- Phép chiếu song song: Chiếu hình không gian lên mặt phẳng theo một hướng cố định.
Công thức quan trọng
Phương trình đường thẳng: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}\), với \(\vec{b}\) là vector chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng: \(ax + by + cz + d = 0\).
Điều kiện song song:
- Hai đường thẳng: Vector chỉ phương \(\vec{b_1}\), \(\vec{b_2}\) tỉ lệ.
- Đường thẳng và mặt phẳng: \(\vec{b} \cdot \vec{n} = 0\), với \(\vec{n}\) là vector pháp tuyến.
- Hai mặt phẳng: Vector pháp tuyến \(\vec{n_1}\), \(\vec{n_2}\) tỉ lệ.
5. Giới hạn. Hàm số liên tục
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
Giới hạn của dãy số: \(\lim_{n \to \infty} u_n = l\) nếu dãy tiến đến \(l\).
Giới hạn của hàm số: \(\lim_{x \to a} f(x) = l\) nếu \(f(x)\) tiến đến \(l\) khi \(x \to a\).
Hàm số liên tục: Hàm \(f(x)\) liên tục tại \(x = a\) nếu:
- \(f(a)\) xác định.
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) tồn tại.
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
Công thức quan trọng
Giới hạn thông dụng:
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x} = 0\)
- \(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
Quy tắc:
- Tổng: \(\lim (f(x) + g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)\)
- Tích: \(\lim (f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)
- Thương: \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\) (nếu \(\lim g(x) \neq 0\)).
6. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
- Lũy thừa: \(a^x\), với \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(x\) là số thực.
- Lôgarit: \(\log_a x\), xác định khi \(x > 0\), \(a > 0\), \(a \neq 1\).
- Hàm số mũ: \(f(x) = a^x\), tăng nếu \(a > 1\), giảm nếu \(0 < a < 1\).
- Hàm số lôgarit: \(f(x) = \log_a x\), tăng nếu \(a > 1\), giảm nếu \(0 < a < 1\).
- Phương trình mũ và lôgarit: Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng lôgarit.
Công thức quan trọng
Lũy thừa:
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
Lôgarit:
- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
- \(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\)
- \(\log_a (x^n) = n \log_a x\)
- Đổi cơ số: \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
Phương trình mũ: \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)\).
Bất phương trình mũ/lôgarit: Dựa vào tính đơn điệu của hàm để so sánh.
7. Quan hệ vuông góc trong không gian
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
- Hai đường thẳng vuông góc: Vector chỉ phương thỏa mãn \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng.
- Hai mặt phẳng vuông góc: Vector pháp tuyến thỏa mãn \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\).
- Góc nhị diện: Góc giữa hai mặt phẳng.
- Khoảng cách: Khoảng cách giữa các điểm, đường thẳng, hoặc mặt phẳng.
- Thể tích: Thể tích của lăng trụ, chóp, và các khối khác.
Công thức quan trọng
- Tích vô hướng: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\).
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: \(d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \(\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}\).
- Thể tích lăng trụ: \(V = S \cdot h\), với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
- Thể tích chóp: \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\).
8. Các quy tắc tính xác suất
Khái niệm và định nghĩa quan trọng
- Biến cố: Tập con của không gian mẫu.
- Hợp: \(A \cup B\) (ít nhất một trong \(A\) hoặc \(B\) xảy ra).
- Giao: \(A \cap B\) (cả \(A\) và \(B\) xảy ra).
- Độc lập: \(A\) và \(B\) độc lập nếu \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).
- Xác suất: \(P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả}}\).
Công thức quan trọng
- Quy tắc cộng: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\).
- Quy tắc nhân (độc lập): \(P(A \cap ects the curve at a point.
- Đạo hàm cấp hai: Đạo hàm của đạo hàm, biểu thị độ cong.
9. Đạo hàm
Công thức quan trọng
Đạo hàm cơ bản:
- \((x^n)’ = n x^{n-1}\)
- \((\sin x)’ = \cos x\)
- \((\cos x)’ =-\sin x\)
- \((\tan x)’ = \sec^2 x\)
- \((e^x)’ = e^x\)
- \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)
- \((a^x)’ = a^x \ln a\)
Quy tắc:
- Tổng: \((f + g)’ = f’ + g’\)
- Tích: \((fg)’ = f’g + fg’\)
- Thương: \(\left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g – fg’}{g^2}\)
- Chuỗi: \((f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
Đạo hàm cấp hai: \(f”(x) = \frac{d}{dx} (f'(x))\).