Việc ghi nhớ và vận dụng đúng các công thức Toán 10 là yếu tố then chốt để học tốt môn học này. Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ tổng hợp toàn bộ công thức quan trọng của chương trình Toán 10 Cánh Diều, chia theo từng chương: từ mệnh đề, tập hợp, hàm số cho đến vectơ và toạ độ trong hình học phẳng. Tài liệu phù hợp để ôn tập, làm bài kiểm tra, thi học kỳ hoặc dùng như một bảng tra cứu nhanh trong suốt năm học.
Chương I. Mệnh đề toán học. Tập hợp
Bài 1. Mệnh đề toán học
Mệnh đề: Câu khẳng định đúng hoặc sai (không vừa đúng vừa sai).
Mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo.
Mệnh đề đúng ↔ phủ định sai.
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
Tập hợp: Tập hợp là một nhóm các đối tượng xác định.
Ký hiệu: ∈ (thuộc), ⊂ (con), ∅ (rỗng).
Phép toán:
- Giao: $A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}$
- Hợp: $A \cup B = \{x | x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$
- Hiệu: $A \setminus B = \{x | x \in A \text{ và } x \notin B\}$
Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Dạng: $ax + by < c$, $ax + by \geq c$,…
- Biểu diễn hình học: nửa mặt phẳng.
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Là giao của nhiều nửa mặt phẳng.
- Nghiệm là tập hợp các điểm thỏa mãn tất cả các bất phương trình.
Chương III. Hàm số và đồ thị
Bài 1. Hàm số và đồ thị
- Hàm số: Mỗi $x \in D$ xác định duy nhất $y = f(x)$.
- Hàm số bậc nhất: $y = ax + b$; đồ thị là đường thẳng.
Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị và ứng dụng
- Dạng chuẩn: $y = ax^2 + bx + c$
- Đỉnh: $x = -\frac{b}{2a}$
- Trục đối xứng: $x = -\frac{b}{2a}$
Hệ số a xác định bề lõm (mở lên hoặc xuống).
Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai
Tam thức: $f(x) = ax^2 + bx + c$
Xét dấu theo nghiệm:
- Nếu $\Delta > 0$: hai nghiệm $x_1 < x_2$, dùng bảng xét dấu.
- Nếu $\Delta < 0$: cùng dấu với a.
Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn
Giải bằng bảng xét dấu của tam thức bậc hai.
Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Đưa về $ax^2 + bx + c = 0$ bằng biến đổi hoặc đặt ẩn phụ.
Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ
Bài 1. Giá trị lượng giác của góc; Định lý cosin, sin
Giá trị lượng giác: sin, cos, tan, cot từ 0° đến 180°.
- Định lý Cosin: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$
- Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Bài 2. Giải tam giác
Áp dụng định lí sin, cos để tìm cạnh hoặc góc còn thiếu.
Bài 3. Khái niệm vectơ
Vectơ: đại lượng có hướng và độ lớn.
Ký hiệu: $\vec{AB}$, độ dài là $|\vec{AB}|$
Bài 4. Tổng, hiệu hai vectơ
Quy tắc hình bình hành.
$\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} – \vec{b}$
Bài 5. Tích của vectơ với một số
$k\vec{a}$: kéo dài hoặc đảo chiều vectơ.
Cùng phương nếu tồn tại $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$
Bài 6. Tích vô hướng hai vectơ
- Công thức: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
- Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ → vuông góc.
Chương V. Đại số tổ hợp
Bài 1. Quy tắc cộng, nhân, sơ đồ cây
- Quy tắc cộng: Một công việc có $m$ hoặc $n$ cách thực hiện → tổng cộng $m + n$ cách.
- Quy tắc nhân: Có $m$ cách và sau đó $n$ cách → tổng cộng $m \times n$ cách.
Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp
- Hoán vị n phần tử: $P_n = n!$
- Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n – k)!}$
Bài 3. Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Bài 4. Nhị thức Newton
Khai triển: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$
Chương VI. Một số yếu tố thống kê và xác suất
Bài 1. Số gần đúng. Sai số
- Sai số tuyệt đối: $\Delta = |x – x_0|$
- Sai số tương đối: $\frac{\Delta}{|x_0|}$
Bài 2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
- Trung bình cộng: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$
- Trung vị, mode.
Bài 3. Đo mức độ phân tán
- Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i – \bar{x})^2$
- Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$
Bài 4. Xác suất trong trò chơi
Xác suất = $\frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}}$
Bài 5. Xác suất của biến cố
Biến cố hợp, giao, đối.
Tính xác suất bằng tổ hợp, phép đếm.
Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 1. Tọa độ của vectơ
$\vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)$
Bài 2. Biểu thức tọa độ các phép toán vectơ
- $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2)$
- $k\vec{a} = (kx; ky)$
Bài 3. Phương trình đường thẳng
Dạng tổng quát: $Ax + By + C = 0$
Dạng tham số, đoạn chắn.
Bài 4. Vị trí tương đối, góc và khoảng cách
- Góc giữa hai đường thẳng: $\tan \theta = \left|\frac{a_1b_2 – a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}\right|$
- Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0)$ đến đường $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Bài 5. Phương trình đường tròn
Dạng chuẩn: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$
Bài 6. Ba đường conic
- Parabol: $y = ax^2 + bx + c$
- Elip: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
- Hyperbol: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$