Toán lớp 9 là giai đoạn bản lề, quyết định kết quả kỳ thi chuyển cấp vào lớp 10 – một kỳ thi quan trọng đối với mọi học sinh. Trong quá trình ôn luyện, việc nắm vững các công thức Toán 9 là yếu tố then chốt giúp học sinh giải bài nhanh, chính xác và tiết kiệm thời gian.
Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ công thức Toán lớp 9 theo từng chương trình Đại số và Hình học, bám sát sách giáo khoa hiện hành. Từ công thức nghiệm phương trình bậc hai, định lý Viet đến các hệ thức lượng trong tam giác vuông – tất cả đều được trình bày ngắn gọn, dễ học, dễ áp dụng.
Chương I: Phương trình và hệ phương trình
1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa:
- Phương trình bậc nhất hai ẩn: $ax + by = c$.
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $a_1x + b_1y = c_1$ và $a_2x + b_2y = c_2$.
Ghi chú quan trọng: Hệ có nghiệm nếu hệ số không đồng nhất và định thức $a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0$.
Công thức cần nhớ:
- Nghiệm của hệ: Tìm $x, y$ thỏa mãn cả hai phương trình.
2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa: Giải hệ bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Ghi chú quan trọng:
- Phương pháp thế: Từ một phương trình, biểu diễn $x$ hoặc $y$, thay vào phương trình còn lại.
- Phương pháp cộng: Nhân các phương trình để loại biến.
Công thức cần nhớ:
- Nghiệm: $x = \frac{c_1b_2 – c_2b_1}{a_1b_2 – a_2b_1}$, $y = \frac{a_1c_2 – a_2c_1}{a_1b_2 – a_2b_1}$ (nếu $a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0$).
3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Định nghĩa: Lập hệ phương trình từ bài toán thực tế.
Ghi chú quan trọng: Xác định hai ẩn số và mối quan hệ giữa chúng.
Công thức cần nhớ: Xây dựng hệ $ax + by = m$, $cx + dy = n$ dựa trên dữ kiện.
Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn
4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: Phương trình có thể biến đổi về dạng $ax + b = 0$.
Ghi chú quan trọng: Loại phân số, căn, hoặc lũy thừa để quy về dạng đơn giản.
Công thức cần nhớ: Nghiệm: $x = -\frac{b}{a}$ (nếu $a \neq 0$).
5. Bất đẳng thức và tính chất
Định nghĩa: Bất đẳng thức là mối quan hệ $a > b$ (hoặc $\geq, <, \leq$).
Ghi chú quan trọng: Tính chất: Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$, $a \cdot c > b \cdot c$ (nếu $c > 0$).
Công thức cần nhớ:
- $a > b \implies a + c > b + c$.
- $a > b$ và $c > 0 \implies ac > bc$.
6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: Bất phương trình dạng $ax + b > c$ (hoặc $\geq, <, \leq$).
Ghi chú quan trọng: Khi nhân/chia cả vế bằng số âm, đổi dấu bất phương trình.
Công thức cần nhớ: Nghiệm: $x > \frac{c – b}{a}$ (nếu $a > 0$); $x < \frac{c – b}{a}$ (nếu $a < 0$).
Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba
7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai
Định nghĩa: Căn bậc hai của $a$ là $x$ sao cho $x^2 = a$ ($a \geq 0$).
Ghi chú quan trọng: $\sqrt{a} \geq 0$, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (nếu $a, b \geq 0$).
Công thức cần nhớ:
- $\sqrt{a^2} = |a|$.
- $(\sqrt{a})^2 = a$ (nếu $a \geq 0$).
8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia
Định nghĩa: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (nếu $a, b > 0$).
Ghi chú quan trọng: Rút gọn phân thức chứa căn.
Công thức cần nhớ:
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (nếu $a, b \geq 0$).
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (nếu $b \neq 0$).
9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Định nghĩa: Rút gọn biểu thức như $\sqrt{a + b} + \sqrt{a – b}$.
Ghi chú quan trọng: Loại mẫu có chứa căn.
Công thức cần nhớ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (nếu $a, b > 0$).
10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Định nghĩa: Căn bậc ba của $a$ là $x$ sao cho $x^3 = a$.
Ghi chú quan trọng: $\sqrt[3]{a}$ tồn tại với mọi $a$ thực.
Công thức cần nhớ:
- $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$.
- $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ (nếu $b \neq 0$).
Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định nghĩa: $\sin A = \frac{a}{c}$, $\cos A = \frac{b}{c}$, $\tan A = \frac{a}{b}$ (với $a, b, c$ lần lượt là cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền).
Ghi chú quan trọng: $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
Công thức cần nhớ:
- $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
- $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng
Định nghĩa: Định lý Pytago: $a^2 + b^2 = c^2$.
Ghi chú quan trọng: Ứng dụng trong tính toán cạnh, góc.
Công thức cần nhớ:
- $a^2 + b^2 = c^2$.
- Diện tích: $S = \frac{1}{2}ab$.
Chương V: Đường tròn
13. Mở đầu về đường tròn
Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính $r$.
Ghi chú quan trọng: Chu vi $C = 2\pi r$, diện tích $S = \pi r^2$.
Công thức cần nhớ:
- $C = 2\pi r$.
- $S = \pi r^2$.
14. Cung và dây của một đường tròn
Định nghĩa: Cung là phần cung tròn, dây là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn.
Ghi chú quan trọng: Góc ở tâm liên quan đến cung.
Công thức cần nhớ: Độ dài cung: $l = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$ (góc $\theta$ tính bằng độ).
15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
Định nghĩa: Hình quạt tròn là phần đường tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung.
Ghi chú quan trọng: Hình vành khuyên là phần giữa hai đường tròn đồng tâm.
Công thức cần nhớ:
- Độ dài cung: $l = r \theta$ (nếu $\theta$ tính bằng radian).
- Diện tích hình quạt: $S = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$.
- Diện tích vành khuyên: $S = \pi (R^2 – r^2)$.
16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Định nghĩa: Đường thẳng cắt, tiếp xúc, hoặc nằm ngoài đường tròn.
Ghi chú quan trọng: Dựa vào khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
Công thức cần nhớ: Khoảng cách: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, với $(x_0, y_0)$ là tâm.
17. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Định nghĩa: Hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc, hoặc nằm ngoài nhau.
Ghi chú quan trọng: Dựa vào khoảng cách giữa hai tâm và tổng/hiệu bán kính.
Công thức cần nhớ: $|d – (r_1 + r_2)|$ xác định vị trí.
Chương VI: Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) và phương trình bậc hai một ẩn
18. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)
Định nghĩa: Hàm số $y = ax^2$ với $a \neq 0$.
Ghi chú quan trọng: Đồ thị là parabol, đỉnh tại $(0, 0)$ nếu $a > 0$ mở lên, $a < 0$ mở xuống.
Công thức cần nhớ: $y = ax^2$.
19. Phương trình bậc hai một ẩn
Định nghĩa: Phương trình dạng $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).
Ghi chú quan trọng: Số nghiệm phụ thuộc vào $\Delta = b^2 – 4ac$.
Công thức cần nhớ:
- $\Delta = b^2 – 4ac$.
- $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
20. Định lí Viète và ứng dụng
Định nghĩa: Tổng nghiệm $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, tích nghiệm $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
Ghi chú quan trọng: Áp dụng để kiểm tra nghiệm.
Công thức cần nhớ:
- $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
- $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Định nghĩa: Lập phương trình bậc hai từ bài toán thực tế.
Ghi chú quan trọng: Xác định ẩn số và mối quan hệ.
Công thức cần nhớ: $ax^2 + bx + c = 0$ từ dữ kiện.
Chương VII: Tần số và tần số tương đối
22. Bảng tần số và biểu đồ tần số
Định nghĩa: Bảng tần số liệt kê số lần xuất hiện của mỗi giá trị.
Ghi chú quan trọng: Biểu đồ cột thể hiện tần số.
Công thức cần nhớ: $f_i$ là tần số của giá trị thứ $i$.
23. Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối
Định nghĩa: Tần số tương đối $f_i = \frac{n_i}{n}$.
Ghi chú quan trọng: Tổng tần số tương đối bằng 1.
Công thức cần nhớ: $f_i = \frac{n_i}{n}$.
24. Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ
Định nghĩa: Ghép nhóm dữ liệu để lập bảng tần số.
Ghi chú quan trọng: Dùng biểu đồ cột hoặc đường.
Công thức cần nhớ: $f_i = \frac{n_i}{n}$ (ghép nhóm).
Chương VIII: Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản
25. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Định nghĩa: Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả kết quả có thể.
Ghi chú quan trọng: Biến cố là tập con của $\Omega$.
Công thức cần nhớ: $|\Omega|$ là số phần tử của không gian mẫu.
26. Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử
Định nghĩa: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$.
Ghi chú quan trọng: $0 \leq P(A) \leq 1$.
Công thức cần nhớ: $P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp}}$.
Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
27. Góc nội tiếp
Định nghĩa: Góc nội tiếp dựa trên cung tương ứng.
Ghi chú quan trọng: Góc nội tiếp bằng nửa góc tại tâm.
Công thức cần nhớ: $\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}.$
28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác
Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh, nội tiếp tiếp xúc ba cạnh.
Ghi chú quan trọng: Bán kính liên quan đến diện tích và chu vi.
Công thức cần nhớ: $R = \frac{abc}{4S}$, $r = \frac{S}{p}$ (với $p$ là nửa chu vi).
29. Tứ giác nội tiếp
Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp có tất cả đỉnh nằm trên một đường tròn.
Ghi chú quan trọng: Tổng các góc đối diện bằng $180^\circ$.
Công thức cần nhớ: $\widehat A + \widehat C = {180^0},\,\,\widehat B + \widehat D = {180^0}\,.$
30. Đa giác đều
Định nghĩa: Đa giác đều có tất cả cạnh và góc bằng nhau.
Ghi chú quan trọng: Góc tại tâm bằng $\frac{360^\circ}{n}$.
Công thức cần nhớ: Góc tại trung điểm cung: $\frac{360^\circ}{n}$.
Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn
31. Hình trụ và hình nón
Định nghĩa: Hình trụ có hai đáy tròn, hình nón có một đáy tròn.
Ghi chú quan trọng: Thể tích phụ thuộc vào chiều cao và bán kính.
Công thức cần nhớ:
- Thể tích hình trụ: $V = \pi r^2 h$.
- Thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
32. Hình cầu
Định nghĩa: Hình cầu là tập hợp các điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính.
Ghi chú quan trọng: Diện tích và thể tích liên quan đến $r^3$.
Công thức cần nhớ:
- Thể tích: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
- Diện tích: $S = 4 \pi r^2$.