Bạn đang tìm kiếm một tài liệu ôn tập Toán 12 đầy đủ, dễ hiểu và bám sát sách giáo khoa Kết nối tri thức? Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống toàn bộ kiến thức trọng tâm và công thức cần nhớ của Toán lớp 12 – từ đạo hàm, khảo sát hàm số, tích phân đến xác suất và hình học không gian. Với cách trình bày logic, dễ theo dõi, đây sẽ là cẩm nang ôn thi lý tưởng cho học sinh lớp 12 chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia.
Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Tính đơn điệu và cực trị
Dấu của đạo hàm quyết định tính đơn điệu:
- $f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến
- $f'(x) < 0 \Rightarrow f(x)$ nghịch biến
Cực trị: Tìm nghiệm của $f'(x) = 0$, dò bảng biến thiên để kết luận cực đại/cực tiểu
2. GTTD – GTLN, GTNN
- Trên đoạn $[a, b]$: so sánh giá trị cực trị và biên
- Trên $\mathbb{R}$: phụ thuộc bài toán tính chất
3. Tiệm cận
- Đứng: xác định từ mẫu = 0
- Ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$
- Xiên: Dùng các giới hạn để tính hệ số a, b
4. Khảo sát đồ thị
- Các bước: TXĐ, tiệm cận, đạo hàm, BBT, đồ thị
- Gắn với các hàm: bậc 3, phân thức, logarit
5. Ứng dụng đạo hàm trong thực tế
- Bài toán tối ưu hoá: diện tích lớn nhất, chi phí nhỏ nhất, khoảng cách ngắn nhất…
- Cần biểu diễn đại lượng cần tối ưu → đưa về bài toán cực trị
Chương 2. Vectơ và hệ tọa độ không gian
Tọa độ điểm A(x, y, z), vectơ →AB = (x$_2$ – x$_1$, y$_2$ – y$_1$, z$_2$ – z$_1$)
- Độ dài AB: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$
- Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
- Tích có hướng: định nghĩa bằng định thức cấp 3
- Góc giữa 2 vectơ: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
- Ứng dụng: xác định độ dài, góc, điều kiện vuông góc/đồng phẳng
Chương 3. Thống kê
- Khoảng biến thiên: R = max – min
- Khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 – Q1
- Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i – \bar{x})^2$
- Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$
- Dạng bài: tính s$^2$, s từ bảng tần số
Chương 4. Nguyên hàm và tích phân
Định nghĩa nguyên hàm: $\int f(x)dx = F(x) + C$ nếu $F'(x) = f(x)$
Một số công thức:
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ -1)
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
Tích phân xác định: $\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$
Diện tích hình phẳng: $A = \int_a^b |f(x)| dx$
Thể tích khối tròn xoay: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$
Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian
- Phương trình mặt phẳng: $A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$
- Phương trình đường thẳng: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$
- Mặt cầu: $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$
- Góc giữa các đối tượng hình học: sử dụng tích vô hướng
Chương 6. Xác suất có điều kiện
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
- Xác suất toàn phần: $P(A) = \sum P(A|B_i) \cdot P(B_i)$
- Công thức Bayes: $P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{\sum P(A|B_i) \cdot P(B_i)}$