✓ Cách học thuộc các công thức Toán 12 nhanh (cả năm, sách mới)

Bạn cần công thức Toán 12 để ôn thi THPT nhanh, hiệu quả? Bài viết này tổng hợp đầy đủ từ sách toán cánh diều; chân trời sáng tạo và sách Kết nối tri thức, chi tiết các công thức toán học quan trọng lớp 12, từ ứng dụng đạo hàm, tới tìm nguyên hàm tích phân hay hình học không gian. Với cách trình bày dễ hiểu, ví dụ minh họa rõ ràng, bạn sẽ nhanh chóng nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán khó. Hãy cùng khám phá ngay!

CHUYÊN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM – KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.1. Đơn điệu của hàm số

Định nghĩa:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $I$ nếu $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
Nghịch biến nếu $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Liên hệ với đạo hàm:

Nếu $f'(x) > 0$ trên khoảng $I$ → hàm số đồng biến
Nếu $f'(x) < 0$ trên khoảng $I$ → hàm số nghịch biến

1.2. Cực trị của hàm số

Định nghĩa:

$x = a$ là điểm cực đại nếu $f(a) > f(x)$ với mọi $x$ gần $a$
$x = a$ là điểm cực tiểu nếu $f(a) < f(x)$ với mọi $x$ gần $a$

Điều kiện:

$f'(a) = 0$ và đổi dấu quanh $a$
Bảng biến thiên để xác định loại cực trị

1.3. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

Bước giải:

Bước 1. Tính đạo hàm $f'(x)$

Bước 2. Tìm nghiệm $f'(x) = 0$

Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét trên đoạn $[a, b]$

Bước 4. So sánh $f(a), f(b), f(x_0)$ (với $x_0$ là cực trị) → chọn GTLN, GTNN

1.4. Đường tiệm cận

Tiệm cận đứng: Nếu hàm số có dạng phân thức và mẫu $Q(x) = 0$ → có tiệm cận đứng tại nghiệm đó

Ví dụ: $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty$

Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Rightarrow y = L$ là TCN

So sánh bậc tử và bậc mẫu để tìm TCN

1.5. Khảo sát và vẽ đồ thị

Tập xác định

Sự biến thiên: đạo hàm, bảng biến thiên

Cực trị

Tiệm cận
Đồ thị đối xứng trục/tâm nếu có

CHUYÊN ĐỀ 2: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

2.1. Nguyên hàm

Định nghĩa: $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu $F'(x) = f(x)$

Công thức cơ bản:

$ \begin{align} \int x^n dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1) \\ \int \frac{1}{x} dx &= \ln|x| + C \\ \int e^x dx &= e^x + C \\ \int \cos x dx &= \sin x + C \\ \int \sin x dx &= -\cos x + C \\ \int \frac{1}{1 + x^2} dx &= \arctan x + C \end{align} $

2.2. Tích phân

Tích phân xác định: $ \int_a^b f(x)\, dx = F(b) – F(a) $

Diện tích hình phẳng giữa đồ thị và trục hoành

Tính chất cần nhớ: $ \int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx, \quad \int_a^a f(x) dx = 0 $

2.3. Ứng dụng hình học

Tính diện tích hình phẳng: $ S = \int_a^b |f(x) – g(x)| dx $

Thể tích khối tròn xoay (quanh Ox): $ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $

CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

3.1. Phương trình mặt phẳng

Dạng tổng quát: $ Ax + By + Cz + D = 0 $
VTPT: $\vec{n} = (A, B, C)$

3.2. Phương trình đường thẳng

Dạng tham số: $ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. $
Dạng chính tắc: $\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$

3.3. Phương trình mặt cầu

Dạng: $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$

3.4. Góc – Khoảng cách

Góc giữa hai vectơ: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

CHUYÊN ĐỀ 4: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ

4.1. Xác suất có điều kiện

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

4.2. Công thức xác suất toàn phần

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$

4.3. Công thức Bayes

$P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)}$

4.4. Thống kê – mức độ phân tán

Phương sai: $ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 $
Độ lệch chuẩn: $ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $
Khoảng biến thiên: $ R = x_{\text{max}} – x_{\text{min}} $
Khoảng tứ phân vị: ${I_{QR}} = {Q_3} – {Q_1}$